A.L.I.

 

 

Comment pourrions-nous éclairer la notion d’espace ? Virginia Hasenbalg a choisi de lire une petite phrase de Freud écrite à la fin de sa vie en 1938, phrases elliptiques qui condensaient là les dernières articulations de Freud et prémonitoires des avancées de Lacan. Freud écrit : « Il se peut que la spatialité soit la projection de l’étendue de l’appareil psychique, aucune autre déduction n’est vraisemblable. » Freud définit l’étendue comme étant la projection de la psychè. Essentiellement n’est-ce pas un espace à entendre ?

S’il s’agit pour Stéphane Dugowson de proposer des structures mathématiques d’espaces spécifiques susceptibles de rendre compte d’un espace à entendre, cela n’a pas été fait et cela reste un défi tout à fait intéressant. Il existe certainement des pratiques qui s’en approchent. On peut aller voir du côté des musiciens, qui font en même temps des mathématiques. Il y a ce rapport avec le temps, le déroulement séquentiel.

C’est ainsi que selon Marc Darmon penser l’espace demande beaucoup de travail parce que l’espace connectif n’est que le pendant des entrelacs. N’est-ce pas précisément ce que Lacan introduit dans le séminaire Encore comme chaîne de langage ? Par là il substitue à une métaphore déjà largement utilisée de chaînes de discours, de chaînes de langage, quelque chose qui se précise avec les chaînes proprement dites et le nœud borroméen. Nous y sommes à plat dans cet espace à entendre. C’est un espace à entendre ou plutôt un espace à lire puisque Lacan introduit de façon inaugurale le nœud comme une lettre en remarquant que contrairement aux lettres habituelles, il va falloir faire attention aux points de croisement au sens courant.

La question est donc la suivante : si le nœud borroméen, un entrelacs quelconque, est un modèle de l’espace connectif, faits de points liés ou non liés d’une façon qui est abstraite, les entrelacs sont-ils des modèles de quelque chose qui seraient plus réels ?

Là il y a effectivement un point non pas de désaccord mais de questionnement pour les psychanalystes par rapport à la représentation de l’espace connectif que propose Stéphane Dugowson. La difficulté , c’est que dans les entrelacs il y a des distinctions, des complexités donc que l’on voit mal représentés. En sens inverse, si on imagine que l’espace connectif représente les entrelacs, il semble qu’il y a plus de complexité dans les entrelacs que dans l’espace connectif. Ainsi il s’agit de savoir quel espace représente l’autre, l’espace connectif ou l’espace des entrelacs. Est-ce que ce n’est pas plutôt l’espace connectif qui serait une représentation des entrelacs plutôt que l’inverse ?

Stéphane Dugowson répond à cette question en disant que chez Lacan il y a bien des entrelacs et il est clair que l’espace connectif qui en donne la structure contient bien moins d’informations que ces entrelacs mêmes. Il y a davantage de complexité dans les entrelacs borroméens par exemple que dans la représentation par l’espace connectif du nœud borroméen. Ce même espace connectif peut être en effet représenté par cet entrelacs-ci comme il pouvait être représenté par cet entrelacs-là. Donc il y a une perte d’information lorsqu’on ne considère que la structure connective de l’entrelacs. C’est bien pourtant une remarque de Lacan sur l’idée d’élaborer une nouvelle topologie à partir des propriétés des entrelacs qui a suggéré à Stéphane Dugowson que ce nouveau type de topologie, en un sens élargi, que constitue les espaces connectifs pouvait en hommage à Lacan être nommés à l’aide des noms donnés aux entrelacs étudiés par Lacan.

Certes une partie très importante de ce qu’il a à dire passe réellement par les entrelacs : ce n’est pas la même chose d’avoir un entrelacs dans lequel tel ou tel rond de ficelle présente des complications par rapport à d’autres et de parler d’espace connectif. Car au niveau de la structure connective de telles distinctions n’apparaîtront pas du tout. C’est bien pourquoi selon Stéphane Dugowson ce sont les entrelacs qui constituent des représentations des espaces connectifs alors que l’espace connectif ne traduit que la structure connective de l’entrelacs. La structure connective de l’entrelacs n’est pas le tout de l’entrelacs : il y a une perte d’information. Cet hommage rendu à Lacan ne doit pas être compris comme une réduction de toute la pensée de Lacan, comme si l’on pouvait tout exprimer en terme purement connectif. Il y a aussi autre chose : puisqu’il considère aussi des nœuds proprement dits c’est-à-dire des entrelacs avec une seule composante, un seul rond de ficelle qui peut être noué parfois de façon très complexe, un nœud de trèfle par exemple qui présente la continuité d’une seule consistance, la structure connective y est toujours triviale. Elle ne consiste qu’en un seul point et rien de plus. La perte d’information est donc considérable à ce niveau.

Pour Stéphane Dugowson l’espace de la représentation, c’est-à-dire l’espace usuel dans lequel les ronds de ficelle sont noués est lui-même un espace connectif et la représentation un objet connectif. La théorie des espaces connectifs ne concerne pas que les espaces connectifs proprement dits, mais aussi ce qui se noue entre différents espaces connectifs et par exemple entre un espace connectif fini et l’espace connectif nettement plus complexe qui est celui dans lequel la représentation se fait.

Le langage connectif reste très intéressant, mais si l’on parle des espaces connectifs proprement dits en particulier des espaces finis. L’appellation espaces lacaniens choisie est selon lui un hommage qu’il ne faut pas prendre forcément au pied de la lettre par rapport à la pensée de Lacan.

Marc Darmon souligne alors que, si la notion de point générique que développe Stéphane Dugowson pour penser le point d’articulation de ses espaces connectifs a évoqué l’objet a à Pierre-Christophe Cathelineau, à lui, cela lui a fait penser à ce que Lacan développe quant au réel du nouage c’est-à-dire au réel comme l’un des composants du nœud. C’est le nouage lui-même qui constitue le réel. Il voit dans ce point extérieur -à la fois existant et n’existant pas- qui résume le caractère connectif de l’ensemble des points, quelque chose qui permet de saisir un peu mieux cette notion.

Pierre-Christophe Cathelineau s’interroge alors sur la notion de point. Est-ce que en mathématique nous ne partons pas d’une définition triviale du point, quand il y a moyen en partant des entrelacs de penser le point différemment. Si l’on dit que le point est un coincement ou un croisement d’une ou plusieurs consistances l’on est obligé de partir de ce principe axiomatique pour construire les espaces connectifs, et non pas du point tel qu’ils apparaissent dans les graphes comme simple intersection de deux droites et donc de considérer que le coincement ou le croisement est toujours premier par rapport à cette représentation de l’intersection. Il y a plus d’informations en effet dans les entrelacs que dans leur représentation connective.

Pour Stéphane Dugowson il semble que ce type de question renvoie en mathématique à ce qu’on appelle les fondements : qu’est-ce qu’un ensemble ? qu’est-ce qu’un élément d’un ensemble ? Presque tous les mathématiciens connaissent très peu la théorie des ensembles. C’est une spécialité difficile. Il y faut une vraie motivation. C’est une question de logique, d’axiomatiques qui sont très complexes. Les résultats qu’on obtient mathématiquement parlant ne sont pas très spectaculaires parce que après beaucoup, beaucoup de travail, des années de travail, on n’arrive pas à dire ce qu’est un point.

Stéphane Dugowson s’est simplement servi de la théorie des ensembles ordinaire.

Marc Darmon indique alors que l’enjeu dans cette leçon du séminaire de Lacan Encore, c’est ce passage effectivement d’une logique de la coupure c’est-à-dire le fait que le point, Lacan le dit comme ça, c’est la coupure d’une droite par une autre droite à celle du coincement, du nouage.

Charles Melman prend alors la parole pour remercier Monsieur Dugowson pour son amicale présence et sa conférence si stimulante et pose deux questions. Une fois que Lacan a distingué chacun de ces ronds qui géométriquement, qui topographiquement sont identiques, les a distingués soit par l’orientation, soit par la couleur, soit par une nomination qui ne passe pas par le signifiant mais par la lettre, il insiste sur le fait que le type de croisement par dessus ou par dessous est essentiel alors qu’on pourrait imaginer que ceci dans un espace connectif n’a strictement aucune importance. Quelle est d’un point de vue mathématique cette surprenante importance que Lacan a accordée au fait qu’une fois ces ronds ainsi distingués le croisement par dessus ou par dessous devient essentiel ?

Pour Stephane Dugowson cette information-là disparaît de la structure connective proprement dite. Ce n’est que dans le cadre de la théorie des entrelacs au sens classique qu’il est possible de répondre à cette question. Cette théorie existe en mathématique. Elle existait déjà à l’époque de Lacan. Elle ne cesse de se développer. Il y a des milliers de références, parce qu’ une des grandes préoccupations des spécialistes de la théorie des entrelacs c’est de les distinguer les uns des autres. Cela ne se voit pas généralement à l’œil nu, comment être sûr que tel entrelacs est réellement différent de tel autre.L’on crée des outils algébriques de calcul qui permettent d’obtenir des informations sur ces entrelacs et ces techniques de calcul s’appuient de façon essentielle sur le fait que les brins passent en dessus ou passent en dessous. D’un autre côté bien souvent les objets algébriques en question au bout du compte gomment aussi une partie de ces informations. Ainsi sans cesse les mathématiciens concernés cherchent à affiner leurs outils de reconnaissance des entrelacs. Le fait de passer en dessous ou au dessus est pris en compte avec un grand soin dans la théorie des entrelacs.

La deuxième question de Charles Melman est la suivante : si l’on fait intervenir pour qualifier ou pour donner cette qualité à cet espace un point qui lui-même ne lui appartient pas, qui n’est pas connecté, qui n’appartient pas à l’espace connectif, comment cette démarche cet appel à un point hétérogène, comment cela peut-il se justifier ?

Stéphane Dugowson répond que l’on procède de la même façon que l’on s’autorise à appeler une table ce que certains ne voudraient voir que comme une organisation incompréhensible d’atomes, c’est-à-dire que l’on introduit quelque chose d’autre qui nous permet de voir ce dont il s’agit.

Charles Melman considère alors que Stéphane Dugowson veut attribuer à ce quelque chose d’autre du fait de la nomination qu’il en fait un pouvoir particulier puisqu’il l’appelle générique. Pourquoi ne l’appelle-t-il pas point généré par exemple ?

Soulignant la très grande pertinence de la question Stéphane Dugowson dit qu’ en tant que connexes irréductibles, au moins dans le cas des espaces connectifs finis, en tant que connexes irréductibles les points génériques génèrent tous les autres connexes. Ces points génériques sont effectivement générés par ce qui les constitue et ça se voit très bien dans les notions similaires en topologie que l’on a introduit pour faire apparaître en quelque sorte des objets que l’on connaît, des sphères, des cercles, des choses comme ça et dire que ces objets-là existent réellement. L’espace n’est pas fait que de points. Il est aussi fait d’objets qui ont une forme d’irréductibilité. Alors si l’on prend une sphère dans l’espace, s’il en manque une partie on peut la reconstituer à condition d’avoir suffisamment de points. Si l’on n’a que deux ou trois points, ça ne suffira pas mais si l’on en a suffisamment, on va pouvoir remonter à la sphère, à l’objet irréductible. L‘objet irréductible, le point générique est généré en effet par ce qui le constitue à condition d’en avoir suffisamment. On peut donc circuler dans les deux sens au sein d’une nouvelle structure. En l’occurrence ici il s’agit de ce que s’appellent les graphes génériques qui sont aussi des espaces connectifs. Donc l’on a construit à partir d’un espace connectif initial un espace connectif qui contient davantage de points, les points génériques en plus et la structure obtenue est telle qu’on peut y circuler, vers le haut et vers le bas.

Charles Melman précise alors que l’effort de Lacan est de témoigner avec cette structure ternaire du nœud que le rond générateur est un symptôme. Il est assez hallucinant de voir resurgir en quelque sorte spontanément, intuitivement et d’une certaine manière logiquement dans l’exposé de Stéphane Dugowson l’élément extérieur, hétérogène qui serait en quelque sorte l’auteur, le générateur, le créateur de cette structure ternaire.

Stéphane Dugowson souligne l’intérêt de cette remarque. Cela obligerait à distinguer parmi des structures à quatre éléments deux choses très différentes. D’un côté un nouage à quatre dans lequel une quatrième composante se distingue clairement des trois premières mais telle que la structure connective soit une structure brunnienne à quatre. Si l’on coupe n’importe laquelle des quatre composantes, tout se défait. Mais néanmoins dans l’entrelacs considéré, l’on distingue clairement le sinthome des trois autres. Cependant autre chose est le graphe générique associé à l’espace connectif borroméen. Mais il trouve très intéressant l’idée qu’en fait ce symptôme pourrait être le point générique…

Charles Melman dit alors que dans la présentation dans le dessin qu’en fait Lacan c’est le rond qui assure la connexité des trois par ailleurs purement superposés, simplement superposés et non pas noués entre eux. Donc c’est vraiment ce point où se rompt en l’occurrence le quatrième qui assure la connexité et son effort à propos du nœud témoignait que cette connexité peut se trouver en fait établie par le nouage lui-même et permettait de se dispenser du générateur.

Stéphane Dugowson admet qu’il faudrait peut-être regarder de près cette coïncidence heureuse ou peut-être trompeuse aussi parce que le générique en question génère la manière dont les trois premiers sont connectés mais il génère les trois eux-mêmes.

Charles Melman souligne qu’il est les trois.

Pour Stéphane Dugowson il est différent…

Charles Melman répond qu’il fait les trois, il ne l’est pas mais il les fait.

Marc Darmon ajoute qu’il les fait dans la construction. C’est le quatrième qui va permettre aux autres de se nouer borroméennement mais une fois qu’il fait partie du nœud il est un des composant au même titre que les autres, c’est-à-dire les quatre se nouent borroméennement et grâce à lui qui est venu les nouer mais une fois qu’il a accompli ce nouage, il est exactement au même titre que les autres. Avec le point générique en question, c’est un point extérieur qui exprimerait le nouage borroméen des autres c’est-à-dire dans le cas du nœud à quatre, il faudrait un cinquième point pour exprimer ce nouage. Le point générique dont parle Stéphane Dugowson prend tout son réel dans les arbres qui ressemblent tout à fait aux arbres généalogiques où les points qui sont connectés vont former de nouvelles connections. Donc effectivement après il y a des connexions de points génériques…

Pour Charles Melman on ne va peut-être pas trop épiloguer là-dessus puisque il faudrait revenir sur les dessins, il fait remarquer que si l’effort que fait Lacan avec le nœud borroméen est de témoigner justement qu’il est possible d’assurer une connexité d’une dimension Autre, que l’Autre ne se distingue plus par une coupure, il est possible grâce au nœud borroméen d’assurer une connexité entre l’Un et l’Autre qui se trouve dans le même espace avec toutes les conséquences que l’on devine, dont l’on se doute. Nous voyons mal comment cette propriété pourrait être maintenue par l’action d’un Au-moins-Un qui par son statut même défend l’hétérogénéité de l’Autre, comment cet Au-moins-Un pourrait se trouver noué de façon équivalente du fait de son statut avec les autres rangs…

 Pour Marc Darmon la réponse est dans la composante du réel. C’est la composante du réel qui est l’invention proprement dit nouvelle, le réel exprimant à la fois le nouage et faisant partie du nœud…

Charles Melman répond que l’invention du réel c’est une invention, dans l’invention du réel il y a justement un gène elle est attribuée à un générateur. Lacan là ne fait que reprendre un statut existant, il ne l’invente pas, il le traite autrement en tâchant justement par l’effort de faire passer un espace topologique, un espace connectif. Du même coup c’est exactement comme le point générateur. Le rond du Nom-du-Père ne peut être qu’ Autre par rapport au nœud borroméen

Marc Darmon dit que ce n’est peut-être pas le cas dans le nœud à trois

Charles Melman répond que ce n’est pas le cas dans le nœud à trois mais dans le nœud à quatre parce que dans le nœud à trois il n’y est plus.

Selon Marc Darmon c’est toujours le réel qui noue et qui est un des composants…

Charles Melman ajoute que c’est le réel qui noue mais sans pour autant assumer une fonction génératrice. Il a une fonction sur un point essentiel, c’est l’insistance que met Lacan, ce qui explique que le rond du réel doit passer au-dessus, dans le croisement au-dessus du symbolique. C’est une condition essentielle

Charles Melman salue grâce au travail de Stéphane Dugowson la naissance de l’espace entre lacaniens

J.-J. Tyszler intervient et demande à notre ami mathématicien au fond ce qui l’a poussé à la question du générique : est-ce parce que il faut nommer l’irréductible ou pas ? Est-ce qu’il y aurait, un autre chemin que ce point d’extériorité-intériorité pour nommer la même chose en quelque sorte. Est-ce que parmi les mathématiciens actuellement, d’autres emprunteraient d’autres chemins pour serrer la même difficulté.
Stéphane Dugowson répond que cette notion de point générique est très naturelle, elle s’impose évidemment, ce sont des remarques que l’on fait a posteriori, après coup, une fois qu’on l’a sous les yeux, il y a une espèce d’évidence que c’est ça qu’il fallait, il fallait faire, il fallait considérer. Lorsque très pratiquement le mathématicien dit qu’il va étudier les espaces connectifs finis par exemple, dénombrer tous les espaces connectifs ayant dix sept points, qu’il ne connait pas la réponse pour dix sept c’est un nombre absolument énorme et actuellement on a calculé jusqu’à six points mais il reste beaucoup de structures connectives et elles ne sont pas faciles à compter. Enfin quand l’on veut les compter, l’on ne va pas regarder toutes les possibilités en regardant la possibilité que telle partie ne soit pas connexe alors que forcément elle doit l’être par définition. Donc l’on regarde les parties connexes irréductibles. Et quand l’on regarde les parties connexes irréductibles on se rend compte qu’elle peuvent être emboîtées les unes dans les autres et des connexes irréductibles en contiennent d’autres. Donc ça s’organise dans ces graphes qui expriment de manière qui expriment de manière très claire la structure connective en question donc il y a une espèce de naturalité de ces notions.

Charles Melman dit alors que Stéphane Dugowson a entendu cette notion chez Badiou.

Stéphane Dugowson répond qu’il les a entendues chez Badiou, qui lui l’a entendu chez Lacan probablement.

Charles Melman dit que non.

Selon Charles Melman c’est une création auto générée.

Stéphane Dugowson dit avoir lâché le sens que lui avait donné Badiou et être allé voir ce qu’il en était en mathématiques.

Marc Darmon souligne que dans son article que c’est à la fois un point singulier et un point quelconque

Stéphane Dugowson répond qu’il est singulier et quelconque. Si on prend un point quelconque il s’agit déjà d’une forme de généricité , un point qui décrit une courbe c’est une forme de généricité. Il y a plusieurs formes de généricité en mathématique, il y en a même une dans les topos qui vous fait attribuer un point générique au vide.

Bernard Vandermersch intervient. On disait qu’autrefois le point était déterminé par la coupure et qu’en fin de compte on acceptait volontiers que deux droites se coupent, alors qu’avec le coincement du nœud manifestement il n’y a pas possibilité qu’en un point passe autre chose que ce point. Autrement dit il y a quelque chose d’assez nouveau… Ce qui est étonnant, c’est l’homogénéité d’une part entre ces espaces génériques et l’espace borroméen. Est-ce que ce n’est pas tout simplement la géométrie traditionnelle qui est aberrante de tolérer qu’en un point de l’espace deux droites passent ? Cela fait penser à ce nœud borroméen dans lequel le réel est à la fois le nouage et un rond c’est-à-dire une définition qui ne correspond plus à l’idée que le réel c’est ce qui revient toujours à la même place par exemple ou qui n’occuperait qu’une seule place. Le réel devient de lui-même une différence d’avec lui-même et ce qui l’homogénéise au symbolique quelque part. Est-ce qu’il y a là dans cette présentation quelque chose de plus. Est-ce qu’on n’a pas éliminé une sorte d’illusion de la géométrie idéale traditionnelle ?

Stéphane Dugowson ne pense pas du tout que la géométrie traditionnelle soit aberrante en quelque façon et avoir poussé les choses dans ce sens-là…

Bernard Vandermersch souligne que dans l’idée d’une géométrie traditionnelle par un point de l’espace on fait passer une infinité de droites par exemple.

Stéphane Dugowson dit que personnellement cela ne le dérange pas du tout (rires).