A.L.I.

1. La topologie explicite du Cotard

"Je suis ronde" dit une patiente de Marcel Czermak dans l'article fondamental sur le Cotard que je prendrai pour base de discussion à propos de la topologie.1

Le Cotard lorsqu'il n'est pas mutique se réfère à une topologie explicite, celle de la sphère, une image parfaitement lisse : "je n'ai pas de bouche, pas d'anus, pas de coeur etc." Cette image de la sphère est bien entendu essentielle à l'imaginaire, sur elle repose la distinction de l'intérieur et de l'extérieur, c'est le fameux vase de l'image spéculaire qui fait l'unité du corps, qui permet d'échapper au morcellement.

Dès l'origine, la pensée philosophique a fait de la sphère la forme la plus pure, la plus parfaite. Faut-il rappeler Le Timée ou Le Banquet de Platon, le Dieu moteur immobile et éternel d'Aristote qui meut les sphères célestes. A la fois limite ultime de l'univers et infini "apeïron" au niveau du temps. La sphère est l'image même de l'être. Nous voyons que le lien entre la sphère et le cosmique est pourrait-on dire " naturel " et le délire d'énormité du Cotard ne fait que s'y conformer.

Lorsque le névrosé se réfère dans l'imaginaire à la sphère, à cette boursouflure du Moi, il s'agit d'une sphère trouée, un sac percé par les différentes ouvertures, points d'appui de la pulsion, puisque les différentes coupures sont isomorphes à la découpe du signifiant. L'image de la sphère ne résume pas la topologie de la névrose, mais plutôt en masque la véritable structure qui renvoie au tore ou au cross-cap.

Avec le Cotard, il s'agit d'une sphère cosmique, englobant tout le vivant, une sphère sans extérieur ou un trou noir s'effondrant sur lui-même. Peut-être le Cotard nous dit-il ainsi le vrai sur sa structure et sur sa topologie ? C'est une sphère.

2. Clinique du Cotard et topologie de la sphère

Vous savez comment Lacan dans le séminaire sur Le Moi 2, compare ces vieilles dames en proie au syndrôme des négations aux planètes qui ne parlent pas parce qu'elles n'ont pas de bouche. Pour les planètes, c'est réel, pour ces vieilles dames, c'est vrai. En effet, elles se sont identifiées à une image où manquent " toute béance, toute aspiration, tout vide du désir, à savoir ce qui proprement constitue la propriété de l'orifice bucal. Dans la mesure où s'opère l'identification de l'être à son image pure et simple, il n'y a pas non plus de place pour le changement, c'est-à-dire la mort. C'est bien ce dont il s'agit dans leur thème - à la fois elles sont mortes et ne peuvent plus mourir, elles sont immortelles - comme le désir. Dans la mesure où ici le sujet s'identifie symboliquement avec l'imaginaire, il réalise en quelque sorte le désir. "

Comment comprendre cette dernière phrase sinon comme l'envahissement total, réalisé, du symbolique par l'imaginaire, la mort du sujet en tant que deuxième mort symbolique et la réalisation d'un désir figé dans son éternité. Du fait de la forclusion ou de l'effacement du signifiant phallique, le sujet n'est plus un sujet divisé, distinct d'une image moïque elle-même trouée par le phallus, mais il y a coïncidence, identification avec un imaginaire sphérique parfait.

Le Cotard a affaire à un Réel sans trou, toutes les ouvertures sont bouchées, il est le seul objet a, mais c'est un objet a qui ne parvient pas à se détacher d'une autre part comme dans le cross-cap où la rondelle se détache de la bande de Moebius. C'est un comblement parfait et atroce, générateur d'une angoisse extrême dont il ne peut même pas attendre le soulagement par la mort. Par exemple, cette femme dont parle Marcel Czermak, manifestant un syndrôme de Cotard déclenché par l'ablation d'un sein, " un manque sous forme de privation. Elle ne disait pas, "je n'ai plus de sein" mais "je n'ai plus de bouche, d'intestin, etc." L'amputation d'un sein, objet éminent lui avait clos le bec. Elle était non pas dans le manque, mais dans la plénitude, grosse de l'instinct de mort. A une disparition réelle avait correspondu l'apparition d'un plein imaginaire sphérique, symbolisé par une absence de trou, ce qui la laissait coite. "

Marcel Czermak pense que le Cotard essaie de découper la fameuse rondelle qui ferait trou dans le cross-cap, " l'asphère " en un seul mot. " Mais essayant de l'ôter il la devient pendant que simultanément, il tente de n'être pas-tout, de devenir l'asphère du pas-tout. En quoi il rate, d'osciller de l'un à l'autre sans fin. Il ne connaît pas d'issue stable possible, puisque précisément et c'est là l'une des impasses de la psychose, S se collabe à a. Si la rondelle exclue devient l'asphère tout est à recommencer. "

Ainsi le Cotard ne devient pas seulement l'objet a, un morceau du Réel, mais l'univers, " voire le Réel même, exclu du désir puisqu'il en est la cause d'où il oscille vers une identification au pur désir". C'est ici que je souhaiterai entamer une discussion avec Marcel Czermak. En effet, si le Cotard relevait de l'asphère, c'est-à-dire du cross-cap, il n'y aurait aucune raison topologique pour l'empêcher d'en détacher la rondelle de l'objet, d'autant plus que l'asphère est munie de son point hors ligne phallique. Le Cotard ne serait-il pas plutôt régi par la topologie de la sphère en deux mots, c'est-à-dire comme le dit Lacan dans le sémnaire sur Le Transfert à une forme dont l'adhésion tient à la " Verwerfung de la castration " ?

3. Le piège à loup

La sphère dont il s'agit dans le Cotard n'est pas celle du névrosé, c'est-à-dire le sac séparant l'intérieur de l'extérieur. La sphère en question est à considérer pour ses propriétés intrinsèques, en dehors du plongement dans un espace à trois dimensions. C'est ainsi que Lacan en parle lorsqu'il introduit la topologie en 1962 dans son séminaire sur l'Identification.

Rappelons qu'il caractérise la sphère par rapport au tore ou au cross-cap par le fait que toute coupure fermée, ce qu'il nomme " lacs ", dans sa surface peut se collaber.

Sur le tore certaines coupures ne peuvent pas se réduire à zéro, de même la coupure en double boucle sépare le cross-cap en deux morceaux hétérogènes.

Le Cotard subit les conséquences de sa topologie sphérique, toute coupure sur la sphère a tendance à se collaber ou à englober la surface toute entière, c'est ce qui le fonde à affirmer que son corps n'a plus d'ouverture ni d'organe, qu'il n'a plus de nom, ni d'existence. Il a affaire à une surface lisse et homogène où toute coupure, toute marque s'efface.

Dans l'Identification 4 Lacan reprend la classification topologique des surfaces à partir de la notion de polygone fondamental. Il s'agit de considérer la surface comme organisée à partir du trou et de la coupure. Il faut considérer le bord du trou dans une sphère, ou ce qui est équivalent le bord d'un polygone ou celui d'un disque. La surface est construite à partir du recollement de ce bord à lui-même. C'est ainsi que l'on obtient en recollant les vecteurs indicés de la même façon par une ou deux flèches, les diverses surfaces que Lacan met en relation avec les différentes structures rencontrées dans la clinique. 5

Ainsi, lorsque le bord du trou se referme sur lui-même comme un piège à loup il s'agit de la sphère, et l'on obtient avec les autres recollements le tore, le cross-cap et le tore de Klein. fig. 1

Notre hypothèse est que le Cotard est structuré comme cette sphère, c'est-à-dire cette surface formée par la fermeture des mâchoire de ce piège à loup dont parle Lacan dans l'Identification.

Comment situer la forclusion du Nom-du-Père dans la topologie de ces surfaces ?

Ces surfaces ont la topologie du champ symbolique, c'est-à-dire du lieu de l'Autre. C'est un champ essentiellement ouvert parce qu'il n'y a aucun Autre de l'Autre pour le clore, pour faire limite. Il y a donc un trou dans l'Autre, un abîme d'où s'origine une demande, un appel vertigineux et la métaphore paternelle a pour effet d'instaurer au bord de cet abîme un garde-fou, le signifiant phallique. Ce signifiant phallique, topologiquement vient compacifier la surface, qui devient de ce fait hétérogène, c'est le point moebien qui fait de la sphère trouée une asphère ou un plan projectif. fig. 2

Si le signifiant phallique est forclos, l'Autre reste une sphère trouée ou un disque avec ce trou à la périphérie. C'est une situation extrêmement instable qui caractérise la position psychotique. En effet, il suffit pour des raisons contingentes que le signifiant paternel soit sollicité pour que cet abîme surgisse comme forclusion du Nom-du-Père. Il en résulte alors un effilochage du symbolique qui peut conduire à la désagrégation schizophrénique. La construction d'une métaphore délirante est la tentative de donner à cette topologie une nouvelle stabilité, de mettre le trou à une certaine distance. La surface topologique correspond à l'intérieur d'un disque dont la frontière est un cercle à l'infini, ce bord est exclu de la surface, il est possible de s'en rapprocher indéfiniment sans l'atteindre. Cette surface est un modèle du plan hyperbolique et correspond vraisemblablement au schéma I De Lacan qui caractérise la psychose de Schreber. Il s'agit donc de tordre la surface de telle sorte que l'abîme tout proche reste à l'infini. L'autre solution c'est de combler le trou avec son propre corps morcelé ou encore de le collaber, de fermer la sphère complètement, c'est le Cotard.

4. Imre Hermann et János Bolyai

Lacan n'a pas été le premier analyste à s'intéresser à la topologie, Imre Hermann, élève de Ferenczi, à l'occasion d'un essai de 1945 sur le mathématicien János Bolyai a tenté une modélisation du psychisme à partir des géométries non euclidiennes. János Bolyai qui a été l'un des inventeurs de la géométrie hyperbolique n'en était pas moins un authentique psychotique, comme en témoignent ses écrits philosophiques. Ainsi sa Doctrine de salut universel est écrite dans une " langue parfaite " forgée à partir du hongrois et destinée à établir le bonheur de l'humanité. Cela nous donne l'occasion de nous demander ce qui fait le caractère délirant d'une oeuvre puisqu'il n'y a aucune raison de penser que l'oeuvre mathématique de János Bolyai, à juste titre reconnue et intégrée au corpus des mathématiques, participe moins de la psychose que sa Doctrine de salut. Elle fait partie de la métaphore délirante dans le sens où elle tente de stopper l'effilochage du tissu symbolique. Dans le cas particulier de la géométrie hyperbolique, on peut même avancer l'hypothèse que la remise en cause du postulat des parrallèles d'Euclide, c'est-à-dire de ce qui fait autorité, donc du signifiant paternel, et que l'endoperception de la structure comme topologique ont été des conditions de la découverte. " A partir de rien, j'ai créé un monde nouveau, autre ", écrit János Bolyai à son père. Autour du gouffre de la forclusion, il a effectivement construit un monde nouveau qui met ce trou à distance.

5. Géométrie intrinsèque

L'idée d'Imre Hermann consiste à faire correspondre chaque géométrie à un tableau nosographique. La géométrie euclidienne caractériserait la normalité bien sûr, la géométrie sphérique ou elliptique la mélancolie, l'hyperbolique la manie et la schizophrénie serait le résultat d'un espace où la courbure serait positive par endroit et brutalement négative à un autre endroit. Ces idées peuvent nous paraître simplistes et plaquées, elles méritent cependant d'être examinées plus en détail.

Il y a une profonde unité entre les trois géométries, par analogie il s'agit de la même unité qui existe entre les coniques, c'est-à-dire les courbes engendrées par l'intersection d'un cône et d'un plan. Le plan peut couper le cône, comme vous le savez, en formant suivant l'angle de la coupure, des hyperboles, une parabole, une ellipse, un cercle ou encore deux droites. A deux dimensions, il existe des modèles des géométries non euclidiennes, c'est la sphère ou une surface elliptique lorsque la courbure est positive, pour la courbure négative hyperbolique nous pouvons évoquer la forme évasée d'une trompette ou d'un pavillon de gramophone.

Lorsqu'on découpe un morceau d'une surface sphérique, il n'est pas possible de l'aplatir sur une table, c'est-à-dire sur un plan euclidien sans la déchirer. fig. 3. De même, un morceau hyperbolique forme des plis lorsqu'on tente de l'aplatir sur ce plan.

Un être à deux dimensions habitant un espace sphérique verrait dans toutes les directions l'arrière de sa tête puisque les rayons lumineux décrivent dans ce cas des grands cercles de la sphère. Imre Hermann compare cela au Surmoi, c'est-à-dire à cette image parentale qui se présenterait partout en toile de fond. Il propose ainsi de représenter l'état dépressif mélancolique par un espace sphérique refermé sur lui-même. A contrario le plan hyperbolique, où l'espace est dilaté, où l'infini semble à portée de main rendrait compte de la manie.

Cette façon d'envisager les choses peut faire sourire, il y a pourtant une intuition à retenir, c'est la référence à la géométrie intrinsèque de la surface qui n'est pas directement sa topologie mais peut s'envisager comme une conséquence.

Par exemple si l'on considère les surfaces abordées par Lacan dans le séminaire L'Identification, on peut se demander qu'elle en est la géométrie intrinsèque. 7 Pour l'étudier il est utile de considérer les surfaces comme des polygones recollés. fig. 4

La sphère peut ainsi se décomposer en huit triangles. Mais nous constatons que ces triangles sont recollés de telle sorte que quatre sommets se rejoignent en un point. Cela nécessite des angles de 90°, et donc des triangles sphériques dont la somme des angles est supérieure à 180° ! Inversement si l'on colle autour d'un point sept triangles équilatéraux c'est impossible dans le plan euclidien, le disque obtenu ne peut s'aplatir sur une table qu'en faisant des plis, il s'agit d'un morceau de surface hyperbolique. Ou encore, il faut courber négativement les sept triangles pour les recoller autour d'un même point, c'est-à-dire utiliser des triangles équilatéraux hyperboliques dont les angles sont inférieurs à 60°.

Si la sphère et le cross-cap sont des surfaces dont la géométrie intrinsèque est de courbure positive, qu'en est-il du tore ou du tore de Klein ?

En apparence le tore est une surface qui présente les deux géométries puisque si l'on prélève un morceau sur la partie la plus éloignée de l'axe, ce morceau est de géométrie elliptique à courbure positive. Si au contraire l'on découpe un morceau au niveau de la gorge, ce morceau est hyperbolique. fig. 5

En fait, il s'agit là d'un tore plongé dans l'espace à trois dimensions et non de la topologie intrinsèque du tore.

Le tore euclidien

Le tore est pour Lacan la surface topologique de la névrose. Dans le texte l'Étourdit 8, il établit la relation entre le tore et le cross-cap, le tore découpé est en effet une bande de Moebius bilatère qui en se recollant sur un bord vient former une bande de Moebius simple. Cette bande de Moebius vient enserrer la rondelle de l'objet a dans le cross-cap. Quelle est la géométrie intrinsèque du tore ou du tore découpé ?

Comme nous l'avons rappelé plus haut un tore peut être obtenu en recollant les côtés opposés d'un carré. Les quatre sommets du carré viennent se rejoindre en un même point, ce qui est parfaitement compatible avec un plan euclidien. Donc le tore est contrairement aux apparences une surface intrinsèquement euclidienne, c'est également le cas du tore de Klein et du tore découpé en double boucle de Moebius. En d'autres termes, il y a non seulement compatibilité entre le tore de la névrose et l'espace euclidien, mais nous pouvons dire que l'un est la condition de l'autre, alors que la forclusion du Nom-du-Père doit entraîner des courbures non-euclidiennes de la géométrie intrinsèque des sujets concernés par exemple dans le Cotard, même si cela est délirant du point de vue des euclidiens.